직사각형 도파관의 TM01·TM10 부재: 경계조건으로 보는 6단계

균일한 매질과 완전도체 벽을 가정한 일반적인 닫힌 직사각형 도파관에서는 TM01, TM10과 TM00이 비영 TM 고유모드가 되지 않습니다. 차단 식에 숫자를 넣을 수 없어서가 아니라, 경계조건을 만족하는 장의 해가 지수 0을 넣으면 전 영역에서 0이 되기 때문입니다.

1. 구조와 좌표를 정한다

단면은 0 < x < a, 0 < y < b이고 전파축은 z라고 둡니다. TM에서는 H_z = 0이며 E_z로부터 횡방향 성분도 구성합니다.

원형, 리지, 복잡한 유전체 장하 또는 개방 구조에는 같은 지수 규칙을 무조건 적용하지 않습니다. 단면이 달라지면 고유함수와 분류를 다시 확인해야 합니다.

2. 벽면의 접선 전계 조건을 적용한다

E_z는 측벽에 접하는 성분이므로 x = 0, a와 y = 0, b에서 0이어야 합니다. 도체 표면의 법선 전계도 모두 0이라는 뜻은 아닙니다.

벽에서 0인 조건이 내부까지 무조건 0이라는 뜻도 아닙니다. 적절한 지수에서는 내부에 비영 분포가 존재할 수 있습니다.

3. 사인 함수의 곱을 확인한다

전파 인자를 생략한 종방향 전계는 E_z(x,y) = E₀ sin(mπx/a) sin(nπy/b)로 표현할 수 있습니다.

m = 0이면 첫 번째 인자가 모든 x에서 sin 0 = 0이며, n = 0이면 두 번째 인자가 마찬가지입니다. 그 결과는 에너지를 전파하는 비영 고유함수가 아닙니다. 따라서 TM에는 m,n = 1,2,…가 필요합니다.

피드를 비대칭으로 만들거나 전력을 올려 TM01을 강제로 발생시키는 문제가 아닙니다. 실제 피드는 다른 허용 모드와 국소장을 만들 수 있습니다.

4. 차단 주파수 식만으로 존재를 판단하지 않는다

공기 충전에서 허용되는 모드의 차단은 f_c,mn = (c/2)√[(m/a)²+(n/b)²]입니다. 여기에 형식적으로 m = 0, n = 1을 대입하는 산술 계산은 가능합니다.

하지만 그 숫자는 TM01이라는 비영 해가 존재한다는 증거가 아닙니다. 먼저 경계조건과 고유함수를 확인해야 합니다. TM00의 형식적 0을 TEM 전파의 증거로 사용하지도 않습니다.

5. TE10은 다른 경계조건을 갖는다

TE에서는 E_z = 0이고 H_z가 보통 cos(mπx/a)cos(nπy/b)의 형태를 갖습니다. 한 지수가 0이어도 다른 지수가 비영이면 비자명한 장을 구성할 수 있습니다. TE00은 일반적인 비영 전파 모드가 아닙니다.

사인·코사인과 조건이 다르므로 TE10의 존재와 TM10의 부재는 모순이 아닙니다. 종횡비를 5:1 이상으로 키우면 TM10이 생긴다는 규칙도 없습니다.

6. 직사각형과 원형의 예를 비교한다

WR-90 내측 22.86 × 10.16 mm에서 TE10 차단은 약 6.56 GHz이고 첫 TM인 TM11은 약 16.15 GHz입니다. 10 GHz에서 TE10은 이용할 수 있지만 TM11은 보통의 진행파가 되지 않습니다.

원형 도파관은 Bessel 함수로 표현되는 다른 고유함수를 가지며 TM01이 존재합니다. 원형의 01과 직사각형의 01을 동일한 단면 분포로 해석하지 않습니다. 원형 TM01의 종전계 E_z를 중심에서 항상 0이라고 설명하는 것도 맞지 않습니다.

시뮬레이션과 측정 결과 해석

포트 모드의 장 분포, 매질, 경계와 정규화를 확인합니다. 프로그램이 표시하는 모드 번호가 이론의 m,n 지수와 같지는 않을 수 있습니다.

존재하지 않는 모드 이름을 요청하면 모든 측정에서 S11 > 0.99 또는 S21 = −∞ dB가 나온다는 공통 법칙은 없습니다. 실제 입력 에너지는 다른 모드, 반사와 국소장으로 분배됩니다.

도파관 수식과 직사각형 치수표를 참고하고 위 경계조건으로 식의 적용 범위를 확인하십시오.