Почему TM01 и TM10 отсутствуют в прямоугольном волноводе

В идеальном замкнутом металлическом прямоугольном волноводе с однородной средой TM01, TM10 и TM00 не образуют ненулевых собственных TM-мод. Причина не в неопределённости формулы отсечки: при нулевом индексе решение поля, удовлетворяющее стенкам, становится нулевым по всему сечению.

1. Задать структуру и координаты

Рассмотрим 0 < x < a, 0 < y < b, распространение вдоль z, идеально проводящие стенки и однородную внутреннюю среду. Для TM H_z = 0, а через E_z можно построить поперечные поля.

Это собственные моды обычного прямоугольного волновода. Не переносите правило индексов без анализа на круглые, гребневые, сложно заполненные диэлектриком или открытые структуры.

2. Тангенциальное электрическое поле на стенках

E_z направлено по касательной к боковым стенкам и должно равняться нулю при x = 0, a и y = 0, b. Это не требует обнуления всякого электрического поля, нормального к проводящей поверхности.

Нулевое E_z на границе не запрещает все TM-моды: с допустимыми индексами внутри существует ненулевое распределение.

3. Произведение синусов

После разделения переменных, опуская множитель распространения, получаем E_z(x,y) = E₀ sin(mπx/a) sin(nπy/b).

При m = 0 первый множитель равен sin 0 = 0 для любого x. При n = 0 второй равен нулю для любого y. Такое произведение не является нетривиальной собственной функцией. Для TM необходимы m,n = 1,2,….

Асимметричная подача сигнала не создаёт TM01 или TM10 в этой идеальной структуре. Она может возбудить другие допустимые моды и локальные поля, но это иной результат.

4. Подстановка в отсечку не доказывает существование

Для допустимых мод при воздушном заполнении f_c,mn = (c/2)√[(m/a)² + (n/b)²]. Формально подставить m = 0, n = 1 можно: арифметика остаётся определённой. Полученное число не создаёт ненулевую TM01.

Сначала рассматривают граничные условия и собственные функции. Формальный ноль для TM00 также не доказывает существование TEM в прямоугольном полом волноводе.

5. Почему TE10 существует

Для TE E_z = 0, а H_z может иметь вид cos(mπx/a)cos(nπy/b). Один нулевой индекс при другом ненулевом допускает нетривиальное поле. TE00 не является обычной ненулевой распространяющейся модой.

Функции и условия различаются, поэтому наличие TE10 не противоречит отсутствию TM10. Отношение сторон больше 5:1 не создаёт общего исключения для TM.

6. Прямоугольный и круглый примеры

Внутренние размеры WR-90 — 22,86 × 10,16 мм. Отсечка TE10 около 6,56 ГГц, а первой TM-моды, TM11, около 16,15 ГГц. При 10 ГГц TE10 может распространяться, тогда как TM11 ниже отсечки.

В круглом волноводе координаты и собственные функции другие. Описываемая функциями Бесселя TM01 существует и имеет азимутальную симметрию. Одинаковые цифровые индексы не означают одинаковые поля в разных сечениях.

Как читать расчёт и измерение

Проверьте портовые поля, границы, среду и нормировку. Номер моды, присвоенный программой, не обязательно совпадает с теоретической парой индексов. Смотрите продольные компоненты и распределение по сечению.

Не существует универсального S11 > 0,99 при выборе названия несуществующей моды. Физическое возбуждение может распределяться между отражением, другими модами и локальными полями. Отражение не заменяет доказательство по собственной функции.

Вывод условия m,n ≥ 1 приведён в разборе TM-мод. Дополнительные сведения дают формулы распространения и таблица прямоугольных сечений.